Leonardo Fibonacci da Pisa

     Hint-Arap sayılar sistemindeki sayısal simgeler (1,2,3,4,...) Avrupa'ya, bu konuda yazılmış bazı kitapların basılmasıyla birlikte yayılmıştır. Bu kitaplar arasında en önemli olan Liber Abaci adında bir kitaptır. Yazarı Leonardo Fibonacci isminde ilginç bir matematikçi idi.
     Binlerce yıl öncesinden beri Babilliler ve Mayalar, numaralandırmada dijital sistemler geliştirmiş ve kullanmışlardı. Sıfırı da ilk kullanmaları ile Avrupa'dan farklı bir ilerleme kaydetmiş olan Babil sisteminin aksine Yunan, hatta Roma matematik sistemleri yedi sembolden oluşuyordu : I, V, X, L, C, D ve M. Dijital olmayan bir sistemde toplama, çıkartma, bölme ve çarpma yapmak, özellikle büyük sayılar sözkonusu olduğunda kolay değildi. Fibonacci, Liber Abaci'de abaküsün temel prensiplerini belirttikten sonra, çalışmalarında artık bu yeni sistemi kullanmaya başlamıştı. Orta Çağın karanlık yıllarında matematiği ayakta tutmanın yanında, ileri matematik konusunda da çalışmalar yapan Fibonacci'yi ünlü yapan ise bambaşka bir buluştu.

     
     Fibonacci'nin tavşanları

     Ünlü matematikçi 1202 yılında ideal koşullarda tavşan nüfusunun nasıl artabileceği sorusuna cevap ararken belki de doğanın en ilginç ve en gizemli buluşunu yapmak üzere idi.
    Yeni doğmuş, biri dişi biri erkek iki tavşan düşünün. İlk ayın sonunda bu iki tavşan çiftleşebiliyor olsun ve ikinci ay dişi tavşan bir çift tavşan üretebiliyor olarak kabul edelim. Tavşanların hiç ölmediğini ve dişi tavşanların her ay yeni bir tavşan çifti dünyaya getirebildiğini varsayalım. Bir yılda kaç çift tavşan olacaktır?

    İlk aydan başlayarak tavşan çiftinin sayısı şu şekilde olacaktır : 1,1,2,3,5,8,13,21,....

   Yukarıdaki sayı serisinin gelişimine dikkat edilirse seride bir sonraki sayının önceki iki sayının toplamı olduğu görülür : 1+1=2 , 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, vs.

    Yukarıdaki sayı serisi çok basit görünüyor. Peki bu sayı serisinde heyecan verici olan nedir?


    Altın Oran

    Fibonacci sayı serilerinin şaşırtıcı özelliklerinden sözetmeden önce Fibonacci sayı serisini oluşturan ardışık sayıları birbirlerine oranlayalım :

1/1 = 1.000000 ½ = 0.500000, 2/3 = 0.666666, 3/5 = 0.600000, 5/8= 0.625000, 8/13 = 0.615385, 1

3/21 = 0.619048, 21/34 = 0.617647, 34/55 = 0.618182, 55/89 = 0.617978, 89/144 = 0.618056

     Yukarıda elde ettiğimiz sayıları bir grafiğe aktardığımızda gördüğümüz şudur :

 

     Sayılar büyüdükçe belirli bir değere yakınsamaktadırlar : 0.618

     Bu sayı ve bu sayının tersi 1 / 0.618 = 1.618 Altın Oran olarak isimlendirilir ve antik çağlardan beri bilinir.

     Grafiği çizerken elde ettiğimiz sayılara daha dikkatli baktığımızda, sayıların altın orandan büyük ve küçük sayılar olarak 0.618'e yakınsadığını ancak hiçbir zaman tam eşit olmadığını görürüz. Fibonacci sayı serisini oluşturan ardışık sayıları birbirlerine oranladığımızda şunu elde ederiz:

1:1 = 1.0000 (1.618'den 0.6180 daha küçük)
2:1 = 2.0000 (1.618'den 0.3820 daha büyük)
3:2 = 1.5000 (1.618'den 0.1180 daha küçük)
5:3 = 1.6667 (1.618'den 0.0486 daha büyük)
8:5 = 1.6000 (1.618'den 0.0180 daha küçük)

     İşlemi sonsuza kadar devam ettirdiğimizde elde ettiğimiz sayıların hep bir büyük, bir küçük olarak altın orana yaklaştığını ancak eşit olmadığını göreceğiz. Oranların 1.618 etrafındaki salınınımları Elliott Dalga Teorisi'nin Almaşıklık Kuralı (Rule of Alternation) olarak bilinen varsayımının özünü oluşturur. Bunu şu şekilde açıklamak gerekir : İnsan kitleleri bilinçsizce, kendilerini tatmin edecek olan altın oranı ararlar.

 

     Doğada Fibonacci sayıları

    "Fibonacci sayıları ailesi, üç ayrı nedenle yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur: Birincisi, dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır; bitkiler, böcekler, çiçekler ve benzer şeylerle ilgili olarak. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; çoğu kez altın oran olarak adlandırılan bu sayının, oyun kartlarının biçiminden Eski Yunan sanatı ve mimarisine kadar birçok şeyin matematiksel temelini oluşturduğu görülmektedir. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleri ile ilgilidir. Gerçekte Fibonacci sayıları üzerine yapılan yayınlar o denli artmıştır ki, üç ayda bir yayınlanan The Fibonacci Quarterly dergisi tümüyle onların özelliklerine adanmıştır ve bu konuda her yıl birkaç yüz sayfalık araştırma yayınlanması dışında, arada uluslar arası konferasnslar da düzenlenmektedir."

     Bir bitkinin sapındaki yapraklardan, papatyaların taç yaprağına, ayçiçeklerinin tohumlarından, çam ağaçlarının kozalaklarına kadar pek çok yerde karşımıza çıkan Fibonacci sayıları, sadece botanik biliminde değil, doğanın diğer alanlarında ve insan etkinliklerinde de yakamızı bırakmıyor : Kristal yapılarında, ışığın cam üzerinde yansımasında, gezegen çekimlerinde, galaksi spiralinde !

     Fibonacci Karesi ve Fibonacci Spirali

     Fibonacci spirali çizmek için 1x1 bir kare çizelim, yanına da başka bir 1x1 kare, iki karenin toplam uzunluğu boyunca 2x2 kare, bu üç karenin bitişik kenarlarına da 3x3 çizelim, böylece ilerlediğimizde elde ettiğimiz karelerin bir kenarını yarıçap kabul eden çeyrek çemberler çizdiğimizde Fibonacci spirali olarak bilinen spirali elde ederiz :

     Fibonacci spirali çizmek için 1x1 bir kare çizelim, yanına da başka bir 1x1 kare, iki karenin toplam uzunluğu boyunca 2x2 kare, bu üç karenin bitişik kenarlarına da 3x3 çizelim, böylece ilerlediğimizde elde ettiğimiz karelerin bir kenarını yarıçap kabul eden çeyrek çemberler çizdiğimizde Fibonacci spirali olarak bilinen spirali elde ederiz :

   
       O halde soru, bu interaktif sürecin rastgele mi yoksa belirliFibonacci Spiraline ise deniz kabuklularının kabuklarından koç boynuzuna, galaksi spiralinden Nautilus spiraline, tayfun ve hortum oluşumlarından, girdap oluşumlarına kadar pek çok yerde rastlarız. (Bu konuda bol bol örnek bulunabilir) 
     Son olarak Altın oran ve Fibonacci sayı serisini oluşturan sayılar, insan vücut oranlarında, elde, parmaklarda ve insan aktivitelerinde de görülmektedir. Mısır'daki Gizze piramidi ve Meksika'daki piramitlerin tasarımında kullanılan sayılar da Fibonacci sayılarıdır ve oranlar Altın oran'ı vermektedir. Fibonacci sayıları ve altın oranın finansal piyasalarda nasıl kullanıldığına geçmeden önce Malcolm E. Lines'ın Bir Sayı Tut ismiyle çevrilen kitabına geri dönelim ve aşağıdaki satırları okuyalım :

     "Fibonacci dizileri ve altın sarmal bazı tekrarlanan büyüme modellerinin önemli bir parçası: ancak "nasıl" ve "neden" olduğu tam bir sır ve bütün bunlar, bir 13. yüzyıl delikanlısının yarattığı teorik "abrakadabra" tavşanlar ailesinden çıkmıştır. Kayıtlara göre, komşularının bu delikanlıya karşı takındıkları tavır için saygılı sözcüğü uygun düşmüyor; ona biraz küçümseyerek, "Biggollone" derlermiş : yani "mankafa". "

     Liber Abaci'nin yazılmasının üzerinden 8 yüzyıl geçti. Bu süre içinde Fibonacci sayı serileri ve Fibonacci modelleriyle uğraşanlara Biggollone gözüyle bakanların sayısında hiç eksilme olmadı. Oysaki Liber Abaci, Avrupa matematik biliminde bir devir açmıştı.


   Fibonacci Analizi ile ilgili olarak fibonacci sayıları, fibonacci oranları ve tabiatta görülen fibonacci sayı/oranlarını anlatan bir kısa film.

    http://video.eksenim.mynet.com/serkantasci.tr/Altin_Oran/134147/#


    Fibonacci sayıları ve oranlarını anlatan bazı linkler:


   http://www.frmtr.com/matematik/1282882-fibonacci-serisi-altin-oran.html

   http://www.da.name.tr/DevrimAltinkurt/CMS/Icerik/15/Fibonacci-Dizisi-ve-Altin-Oran-Hesabi.aspx

   http://tr.wikipedia.org/wiki/Fibonacci

   http://tr.wikipedia.org/wiki/Alt%C4%B1n_oran

   http://www.facebook.com/note.php?note_id=89788743345